• Una un poco más difícil

    From Xavier Caselles@2:343/107.999 to All on Fri Sep 28 18:28:28 2007
    Hola!

    Este cuento está sacado de una revista de la asociación Mensa. Sí, esa para genios, pero no os acojoneis, no hay para tanto. Mi hijo Marc de 12 aĄos lo resolvió en poco más de una hora haciendo cálculos con el dedo en la arena de la playa, claro que mi hijo Eloi de 18 no supo dar con ella X-DD.

    Empecemos:

    Un príncipe, en su trigésimo aniversario, decide viajar a los confines de su reino y se lleva consigo a siete fieles servidores que le servirán de mensajeros para comunicarse con la capital del reino.

    A las 24 horas de salir de viaje, el príncipe envía al primer mensajero. El mensajero parte hacia la capital, entrega el mensaje y, sin entretenerse un solo segundo, recoje el mensaje que allí estaba preparado y sale en pos del príncipe. En cuanto el mensajero alcanza al príncipe, este (el príncipe) manda al segundo mensajero hacia la capital. El segundo mensajero sigue exactamente el mismo proceso que el primero. Siguiendo este mismo proceso, el príncipe envía al tercero, cuarto, quinto y sexto mensajeros.

    En el momento de enviar al séptimo mensajero, el príncipe está seguro de que será la última vez que se vean.

    Sabiendo que:
    1. El príncipe avanza siempre por un camino que se aleja de la capital. 2. Que los mensajeros no toman atajos y, por tanto, siempre van y vuelven por el mismo
    camino que ha recorrido el príncipe. 3. Que los mensajeros van a 1.5 veces la velocidad con la que avanza el príncipe.


    Preguntas:
    ĘPor qué no volverán a verse?
    Al que acierte la respuesta, tirón de orejas. Es evidente: cuando sale el séptimo mensajero, el príncipe ya es un anciano y el viaje del mensajero durará
    un montón de aĄos.

    Si el séptimo mensajero llegase a alcanzar la comitiva del príncipe sin morir de viejo ĘCuanto tiempo habría pasado desde que el príncipe salió de la capital?
    Como que esta se puede contestar por el cuento de la vieja, pero OJO que tiene trampa. Felicitaciones al que la encuentre.

    Pregunta para matrícula de honor. ĘCual es la ecuación que nos permite calcular
    la fecha de llegada (de la respuesta al príncipe) general para cualquiera de los mensajeros?


    Pista: Es lo que tienen las series exponenciales.



    Ahí queda eso. Si teneis alguna duda, ya sabeis: ingeniároslas solitos ;-)


    Xavi

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  • From Rafael Suarez@2:341/14 to Xavier Caselles on Sat Sep 29 09:14:44 2007
    şHola Xavier!

    El Viernes 28 Septiembre 2007 a las 18:28, Xavier Caselles escribió a All:

    Pista: Es lo que tienen las series exponenciales.

    Eso me recuerda a lo del tablero de ajedrez y los granos de trigo.

    No tengo muchas ganas de calcular, pero creo que consiste en el tiempo transcurrido entre ir y volver del mensajero y ese medio tiempo menos que tarda
    el mensajero y la comitiva.

    En la hora 24 el primer mensajero tardará en ir y volver otras 24 al punto de
    partida, pero la comitiva estará a 48 horas del punto de partida por lo que tardará 12 horas mas en alcanzarlo en su punto 48, el segundo partirá del punto
    horario 48 de la comitiva y aplicando el mismo calculo los tiempos se incrementarán exponencialmente.


    Saludos
    Rafael
    rsuarez@rafastd.org
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  • From Marcos Pastor@2:343/107.999 to Xavier Caselles on Fri Sep 28 23:21:08 2007
    Un príncipe, en su trigésimo aniversario, decide viajar a los confines de su reino y se lleva consigo a siete fieles servidores que le servirán de mensajeros para comunicarse con la capital del reino.
    A las 24 horas de salir de viaje, el príncipe envía al primer mensajero. El mensajero parte hacia la capital, entrega el mensaje y, sin entretenerse un solo segundo, recoje el mensaje que allí estaba preparado y sale en pos del
    príncipe. En cuanto el mensajero alcanza al príncipe, este (el príncipe) manda
    al segundo mensajero hacia la capital. El segundo mensajero sigue exactamente el mismo proceso que el primero. Siguiendo este mismo proceso, el príncipe envía al tercero, cuarto, quinto y sexto mensajeros.
    En el momento de enviar al séptimo mensajero, el príncipe está seguro de que será la última vez que se vean.
    Sabiendo que:
    1. El príncipe avanza siempre por un camino que se aleja de la capital.
    2. Que los mensajeros no toman atajos y, por tanto, siempre van y vuelven por el mismo camino que ha recorrido el príncipe.
    3. Que los mensajeros van a 1.5 veces la velocidad con la que avanza el príncipe.

    [Posibles soluciones]
















































































    Preguntas:
    ĘPor qué no volverán a verse?
    Al que acierte la respuesta, tirón de orejas. Es evidente: cuando sale el
    séptimo mensajero, el príncipe ya es un anciano y el viaje del mensajero durar
    un montón de aĄos.

    Algo mas de 171 (1500000 horas, para ser exactos)

    Si el séptimo mensajero llegase a alcanzar la comitiva del príncipe sin morir de viejo ĘCuanto tiempo habría pasado desde que el príncipe salió de la capital?

    1875000 horas (casi 214 aĄos)

    Pregunta para matrícula de honor. ĘCual es la ecuación que nos permite calcula
    la fecha de llegada (de la respuesta al príncipe) general para cualquiera de los mensajeros?

    P: Punto de partida del mensajero
    C: Capital
    P': Punto de partida del siguiente mensajero Tc: Tiempo que tarda el mensajero en recorrer la distancia P-C Tm: Tiempo que tarda el mensajero en recorrer la distancia P-P' Tp: Tiempo que tarda el principe en recorrer la distancia P-P' =
    1.5Tm

    La ecuacion es:

    (2*Tc)+ Tm = 1.5Tm o 2*Tc=0.5Tm




    Marcos Pastor Calvet

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  • From Marcos Pastor@2:343/107.999 to Xavier Caselles on Sat Sep 29 00:43:34 2007
    Pregunta para matrícula de honor. ĘCual es la ecuación que nos permite calcula
    la fecha de llegada (de la respuesta al príncipe) general para cualquiera de los mensajeros?

    [Desarrollo de las ecuaciones]
















































    P: Punto de partida del mensajero
    C: Capital
    P': Punto de partida del siguiente mensajero Tc: Tiempo que tarda el mensajero en recorrer la distancia P-C Tm: Tiempo que tarda el mensajero en recorrer la distancia P-P' Tp: Tiempo que tarda el principe en recorrer la distancia P-P' =
    1.5Tm Ta: Tiempo acumulado

    Las ecuaciones son:

    Tc = Ta/1.5
    (2*Tc)+ Tm = 1.5Tm = Tp o 2*Tc=0.5Tm

    Ta1 = 24 horas
    Tp1 = 4/3 Ta1 + Tm1
    Ta2 = Tp1 + Ta1 = 7/3 Ta1 + Tm1
    Tp2 = 4/3 Ta2 + Tm2

    Caso general

    Tp(n) = 4/3 Ta(n) + Tm(n)
    Ta (n+1) = Tp(n) + Ta(n)



    Marcos Pastor Calvet


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  • From Xavier Caselles@2:343/107.999 to Marcos Pastor on Sat Sep 29 15:33:50 2007
    Hola!
    Algo mas de 171 (1500000 horas, para ser exactos)

    Correcto.

    1875000 horas (casi 214 aĄos)

    Correcto.

    (2*Tc)+ Tm = 1.5Tm o 2*Tc=0.5Tm

    Hay una mucho más simple. Piensa que la ecuación que pido debe cumplirse sólo para los mensajeros de este tipo de viaje en concreto, es decir, se consideran constantes la Vr (velocidad relativa) y T-subcero (tiempo que pasa desde que salen de la capital hasta que se envía al primer mensajero).

    Una pista, es una función exponencial en la que la única variable es el número de mensajero. Ya he dicho que es muy simple ;-)


    Xavi

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  • From Xavier Caselles@2:343/107.999 to Marcos Pastor on Sat Sep 29 16:26:18 2007
    Hola!

    Parece que tu fórmula es correcta y, aunque no es la que pedía, has ido un poco
    más allá y te mereces una más-matrícula de honor ;-)

    Claro que prefiero un sistema más simple para este cálculo. Consideremos:

    1. Siendo P(n)-0 la distancia que separa al príncipe de la capital cuando manda
    al mensajero (n), podemos asumir que la distancia inicial que separa al mensajero del príncipe es 2(P(n)-0), es decir, la distancia príncipe-capital-príncipe. Para cualquier mensajero (n): D(n)=2(P(n)-0)

    2. La velocidad relativa entre el mensajero y el príncipe es igual a Vm-Vp (velocidad del mensajero menos velocidad del príncipe). Así que Vr=Vm-Vp

    3. Conocemos una distancia y una velocidad. Ya podemos calcular el tiempo de viaje del mensajero (n):
    Dado que V=d/t, obtenemos que t=d/V. Así que: T = D/Vr

    Dado que la velocidad relativa es 0.5 (1/2) simplificamos y usqando 1. 2. y 3.:

    T(n) = 2(P-0)/0.5 = 4(P-0)

    T = 4(P-0)
    ----------



    Para cualquier mensajero (n) tardará en hacer su recorrido:

    T(n) = 4(P(n)-0)

    Luego la fecha de llegada de cada mensajero Tf(n) será:

    Tf(n) = Tf(n-1) + 4(P(n)-0)
    ---------------------------


    Pero, curiosamente para el caso enunciado (y esta sí es la fórmula que pedía) hay una forma muuuuuuuuuucho más simple para deducir la ecuación general para calcular el Tf(n) que se cumple gracias a que T(0)=1. Un bonito caso particular...

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    T(1) = 1 + (2*1/0.5) = 5 = 5^1
    T(2) = 5 + (2*5/0.5) = 25 = 5^2

    La secuencia es evidentemente generalizable a:

    T(n) = 5^n
    ----------

    De donde T(7) = 5^7 = 78125 dias aprox= 214 aĄos


    Xavi

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  • From Xavier Caselles@2:343/107.999 to Rafael Suarez on Sat Sep 29 16:42:56 2007
    Hola!

    Eso me recuerda a lo del tablero de ajedrez y los granos de trigo.

    Si, la ecuación que pido es una exponencial en la que la única variable necesaria es el número de mensajero.

    No tengo muchas ganas de calcular, pero creo que consiste en el tiempo
    transcurrido entre ir y volver del mensajero y ese medio tiempo menos que tard
    el mensajero y la comitiva.

    Muy buena aproximación.

    En la hora 24 el primer mensajero tardará en ir y volver otras 24 al punto de partida, pero la comitiva estará a 48 horas del punto de partida por lo que
    tardará 12 horas mas en alcanzarlo en su punto 48, el segundo partirá del punt
    horario 48 de la comitiva y aplicando el mismo calculo los tiempos se incrementarán exponencialmente.

    Hay un error de cálculo y otro de concepto.

    Error de cálculo: La velocidad del mensajero es 1.5 veces la de la comitiva, no
    2 veces la de la comitiva. El mensajero recorrerá la distancia en 2*24/1.5= 32 horas, no en 24 horas.

    Error de concepto: El sistema que cojes es una función que tiende al punto de intersección, pero jamás lo alcanza. Aquí entra la paradoja de Aquiles y la tortuga: cada intervalo T, el mensajero reduce la distancia que lo separa de la
    comitiva en 1/2, pero cada vez el intervalo se reduce a 1/2, por lo cual, siguiendo esta iteración, el mensajero jamás llega a alcanzar al príncipe ya que siempre le quedará por recorrer 1/2 de la distancia anterior. De esta forma
    el problema se vuelve irresoluble.




    Xavi

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